Raisonnement logique et numérique au Score IAE-Message : méthodes et calcul mental sans calculatrice

L'épreuve de raisonnement logique et numérique comporte 20 questions à 5 points, soit 100 points sur 400, sans calculatrice. C'est l'épreuve la plus rentable à la question : une seule bonne réponse rapporte autant que deux et demie dans les autres. C'est aussi celle où l'on perd le plus de temps quand on n'a pas de méthode.

Ces 20 questions mélangent deux familles : des questions numériques (pourcentages, proportions, vitesses, résolution de petits problèmes) et des questions de logique (syllogismes, suites, déductions). Dans les deux cas, les nombres sont choisis pour rester simples si l'on sait les manipuler.

Quels réflexes de calcul mental acquérir ?

Sans calculatrice, le gain de temps vient de quelques transformations qu'il faut avoir en tête, pas d'un calcul plus rapide.

Les pourcentages, dans les deux sens

• Un pourcentage de, c'est une fraction. 10 % se lit en décalant la virgule, 5 % est la moitié de 10 %, 25 % est le quart, 50 % la moitié. 20 % de 150 : 10 % font 15, donc 30.
• Les pourcentages se commutent. 8 % de 50 est égal à 50 % de 8, soit 4. Prenez toujours le sens le plus simple.
• Une hausse et une baisse ne s'annulent pas. Une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 20 % ne ramène pas au point de départ : 1,2 × 0,8 = 0,96, soit 4 % de moins.
• Pour annuler une baisse de 20 %, il faut une hausse de 25 % (0,8 × 1,25 = 1). Plus la baisse est grande, plus la hausse de retour est forte.
• Retrouver le prix de départ après une hausse : on divise, on ne retranche pas. Un prix de 60 après une hausse de 20 % vient de 60 ÷ 1,2 = 50, pas de 48.

Les approximations stratégiques

Quand les cinq propositions sont très espacées, un ordre de grandeur suffit. 19,8 × 5,1 vaut à peu près 20 × 5 = 100 : vous écartez tout ce qui est loin de 100 sans calculer le reste. Arrondissez, mais gardez en tête le sens de l'erreur : ici, on arrondit 19,8 vers le haut et 5,1 vers le bas, donc l'erreur est faible.

Piège classique : deux propositions voisines. Dans ce cas, l'approximation ne départage pas : il faut calculer exactement.

La factorisation rapide

Cherchez les couples qui donnent des nombres ronds : 4 × 25 = 100, 8 × 125 = 1 000, 2 × 5 = 10.

• 36 × 25 : 36 = 9 × 4, donc 9 × 4 × 25 = 9 × 100 = 900.
• 125 × 16 : 16 = 2 × 8, donc 2 × 8 × 125 = 2 × 1 000 = 2 000.
• 49 × 51 : on reconnaît (50 − 1)(50 + 1) = 50² − 1 = 2 499.

L'identité a² − b² = (a − b)(a + b) sert très souvent : dès que deux nombres sont symétriques autour d'un nombre rond, pensez-y.

Les puissances à connaître par cœur

2⁵ = 32, 2⁸ = 256, 2¹⁰ = 1 024, 3⁴ = 81, 5³ = 125, et les carrés jusqu'à 20 (surtout 13² = 169, 14² = 196, 15² = 225). Pour comparer ou calculer, ramenez à la même base : 4³ = (2²)³ = 2⁶ = 64. Et 10⁻² vaut 0,01.

Quels pièges en logique formelle ?

Les syllogismes

• La réciproque n'est pas valide. « Tous les chats sont des mammifères » n'implique pas « tous les mammifères sont des chats ».
• « Certains » n'est pas « tous ». De « tous les A sont B » et « certains B sont C », on ne peut rien conclure sur A et C : les B qui sont C ne sont peut-être pas des A.
• « Aucun » se retourne. « Aucun A n'est B » équivaut à « aucun B n'est A ». C'est la seule forme qui se lit dans les deux sens.
• La négation de « tous » est « au moins un qui ne ». La négation de « tous les A sont B » est « certains A ne sont pas B », pas « aucun A n'est B ».

Astuce pratique : dessinez deux ou trois ensembles. Si vous pouvez les placer pour rendre la conclusion fausse, la conclusion n'est pas déductible.

Les suites numériques et alphabétiques

• Regardez d'abord les différences successives. 2, 5, 10, 17, 26 : les écarts sont 3, 5, 7, 9, donc le suivant est 26 + 11 = 37. Quand les écarts ne sont pas constants, regardez les écarts des écarts.
• Pensez aussi aux rapports et aux carrés. Une suite qui double ou triple relève d'un rapport, pas d'une différence. 2, 5, 10, 17, 26 est en fait n² + 1.
• Pour les lettres, passez aux positions. A = 1, Z = 26. La suite A, C, F, J, O correspond aux positions 1, 3, 6, 10, 15 : les écarts augmentent de 1 à chaque fois, la lettre suivante est à 15 + 6 = 21, donc U.
• Après Z, on repart à A. Pensez-y quand la suite dépasse 26.
• Une suite peut mélanger deux séries. Si rien ne marche, séparez les termes de rang pair et de rang impair.

Comment gérer ses 45 minutes ?

45 minutes pour 20 questions font 2 minutes 15 par question en moyenne, mais la moyenne n'a pas de sens ici : certaines questions se règlent en 45 secondes, d'autres en 4 minutes.

1. Premier passage, 20 à 25 minutes. Traitez d'abord les questions dont vous voyez la méthode, en priorité celles à calcul court. Marquez les autres sans les creuser.
2. Second passage, 15 à 20 minutes. Reprenez les questions marquées, de la plus courte à la plus longue.
3. Les 5 dernières minutes. Cochez une réponse partout : il n'y a aucun point négatif, et chaque question rapporte 5 points.

Règle de coupure : si vous n'avez pas de piste après 3 minutes, passez. Des questions plus accessibles vous attendent plus loin.

Comment s'entraîner ?

Cette épreuve se travaille en petites séances fréquentes, pas en gros blocs. Commencez par les automatismes (tables, carrés, pourcentages), puis passez à des séries chronométrées, et notez après chaque erreur le réflexe qui vous manquait. Les drills de Le Barème permettent de cibler la logique ou le calcul, avec la méthode affichée juste après chaque réponse.